Пирамида с прямоугольным треугольником в основании. Пирамида Площадь поверхности и объём усеченной пирамиды

Объемной фигурой, которая часто появляется в геометрических задачах, является пирамида. Самая простая из всех фигур этого класса — треугольная. В данной статье разберем подробно основные формулы и свойства правильной пирамиды треугольной.

Геометрические представления о фигуре

Прежде чем переходить к рассмотрению свойств правильной пирамиды треугольной, разберемся подробнее, о какой фигуре идет речь.

Предположим, что имеется произвольный треугольник в трехмерном пространстве. Выберем в этом пространстве любую точку, которая в плоскости треугольника не лежит, и соединим ее с тремя вершинами треугольника. Мы получили треугольную пирамиду.

Она состоит из 4-х сторон, причем все они являются треугольниками. Точки, в которых соединяются три грани, называются вершинами. Их у фигуры также четыре. Линии пересечения двух граней — это ребра. Ребер у рассматриваемой пирамиды 6. Рисунок ниже демонстрирует пример этой фигуры.

Поскольку фигура образована четырьмя сторонами, ее также называют тетраэдром.

Правильная пирамида

Выше была рассмотрена произвольная фигура с треугольным основанием. Теперь предположим, что мы провели перпендикулярный отрезок из вершины пирамиды к ее основанию. Этот отрезок называется высотой. Очевидно, что можно провести 4 разные высоты для фигуры. Если высота пересекает в геометрическом центре треугольное основание, то такая пирамида называется прямой.

Прямая пирамида, основанием которой будет треугольник равносторонний, называется правильной. Для нее все три треугольника, образующих боковую поверхность фигуры, являются равнобедренными и равны друг другу. Частным случаем правильной пирамиды является ситуация, когда все четыре стороны являются равносторонними одинаковыми треугольниками.

Рассмотрим свойства правильной пирамиды треугольной и приведем соответствующие формулы для вычисления ее параметров.

Сторона основания, высота, боковое ребро и апотема

Любые два из перечисленных параметров однозначно определяют остальные две характеристики. Приведем формулы, которые связывают названные величины.

Предположим, что сторона основания треугольной пирамиды правильной равна a. Длина ее бокового ребра равна b. Чему будут равны высота правильной пирамиды треугольной и ее апотема.

Для высоты h получаем выражение:

h = √(b 2 — a 2 /3)

Эта формула следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, сторонами которого являются боковое ребро, высота и 2/3 высоты основания.

Апотемой пирамиды называется высота для любого бокового треугольника. Длина апотемы a b равна:

a b = √(b 2 — a 2 /4)

Из этих формул видно, что какими бы ни были сторона основания пирамиды треугольной правильной и длина ее бокового ребра, апотема всегда будет больше высоты пирамиды.

Представленные две формулы содержат все четыре линейные характеристики рассматриваемой фигуры. Поэтому по известным двум из них можно найти остальные, решая систему из записанных равенств.

Объем фигуры

Для абсолютно любой пирамиды (в том числе наклонной) значение объема пространства, ограниченного ею, можно определить, зная высоту фигуры и площадь ее основания. Соответствующая формула имеет вид:

Применяя это выражение для рассматриваемой фигуры, получим следующую формулу:

Где высота правильной треугольной пирамиды равна h, а ее сторона основания — a.

Не сложно получить формулу для объема тетраэдра, у которого все стороны равны между собой и представляют равносторонние треугольники. В таком случае объем фигуры определится по формуле:

То есть он определяется длиной стороны a однозначно.

Площадь поверхности

Продолжим рассматривать свойства пирамиды треугольной правильной. Общая площадь всех граней фигуры называется площадью ее поверхности. Последнюю удобно изучать, рассматривая соответствующую развертку. На рисунке ниже показано, как выглядит развертка правильной пирамиды треугольной.

Предположим, что нам известны высота h и сторона основания a фигуры. Тогда площадь ее основания будет равна:

Получить это выражение может каждый школьник, если вспомнит, как находить площадь треугольника, а также учтет, что высота равностороннего треугольника также является биссектрисой и медианой.

Площадь боковой поверхности, образованной тремя одинаковыми равнобедренными треугольниками, составляет:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Данное равенство следует из выражения апотемы пирамиды через высоту и длину основания.

Полная площадь поверхности фигуры равна:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Заметим, что для тетраэдра, у которого все четыре стороны являются одинаковыми равносторонними треугольниками, площадь S будет равна:

Свойства правильной усеченной пирамиды треугольной

Если у рассмотренной треугольной пирамиды плоскостью, параллельной основанию, срезать верх, то оставшаяся нижняя часть будет называться усеченной пирамидой.

В случае правильной пирамиды с треугольным основанием в результате описанного метода сечения получается новый треугольник, который также является равносторонним, но имеет меньшую длину стороны, чем сторона основания. Усеченная треугольная пирамида показана ниже.

Мы видим, что эта фигура уже ограничена двумя треугольными основаниями и тремя равнобедренными трапециями.

Предположим, что высота полученной фигуры равна h, длины сторон нижнего и верхнего оснований составляют a 1 и a 2 соответственно, а апотема (высота трапеции) равна a b . Тогда площадь поверхности усеченной пирамиды можно вычислить по формуле:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Здесь первое слагаемое — это площадь боковой поверхности, второе слагаемое — площадь треугольных оснований.

Объем фигуры рассчитывается следующим образом:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

Для однозначного определения характеристик усеченной пирамиды необходимо знать три ее параметра, что демонстрируют приведенные формулы.

Формулы и свойства правильной треугольной пирамиды. Усеченная треугольная пирамида — все интересные факты и достижения науки и образования на сайт

S пол = Sосн + S бок.

III этап: Виртуальное путешествие в мир пирамид - презентация учащихся

IV этап - Изучение новой темы - сопровождается мультимедийной презентацией

Изучаемые понятия:

Запишите тему.

Дом. задание: № 70.

VI этап Рефлексия.

Контрольные вопросы

7. Что такое высота пирамиды?

Дом задание: №75

Выставление оценок

Приложение 1

Приложение 2

Волшебные свойства пирамид

Другой способ достижения эффекта — поставить в пирамиду чистую родниковую воду, выдержать ее в течение суток, а затем перед сном втирать в кожу головы. По времени это дольше, но практичней.

Например, если разводить рыбы в стеклянной пирамиде-аквариуме - результат поразительный: вода самоочищается! Нет никаких признаков гниения, нет налета тины на дне, не зеленеют стекла и не нужно тратить деньги на покупку аквариумных фильтров — пирамида всё очищает сама. Геометрия пирамиды структурирует молекулы воды особым образом, задавая программу к подавлению гниения внутри аквариума.

Пирамида — это гаситель излучений. Если ее поставить на компьютер и правильно ориентировать по сторонам света, пирамида создаст более благотворное поле. Чем крупнее пирамида, тем больше ее фактор добра. Все негативное воздействие будет либо погашено, либо перераспределено во что-то нейтральное.

Просмотр содержимого документа
«Усеченные пирамиды »

Тема урока: Усеченная пирамида, ее основные элементы.

Цели урока:

Образовательные: ознакомить учащихся с понятием усеченная пирамида, её элементами и формулами для вычисления площадей боковой и полной поверхностей;

Развивающие: развивать пространственное воображение учащихся, умение изображать пирамиды и распознавать их среди других пространственных фигур;

Воспитывающие: данная тема способствует воспитанию любознательности, сообразительности, внимательности и развитию интереса к математике, формирование аккуратности в построении математических фигур.

Тип урока: ознакомление с новым материалом

ТО урока: интерактивная доска, компьютер, презентации «Пирамиды», «Усеченные пирамиды», « Виртуальное путешествие в мир пирамид».

Этапы урока:

I этап: организационный

II этап Актуализация знаний

1) устный опрос с использованием слайдов

Перечень вопросов:

(слайд 2)- среди изображенных фигур назовите номера тех, которые являются пирамидами.

Среди моделей тоже отберите пирамиды.

Какой многогранник называют пирамидой? Назвать и показать их основные элементы, показать их на моделях. (Слайды 3,4)

Виды пирамид. (слайды 5-7)

Сделать чертеж треугольной и четырехугольной пирамиды.

Из чего состоит полная поверхность пирамиды? (слайд 8)

Свойства боковых ребер и боковых граней правильной пирамиды. (Слайд 9)

Формулы для вычисления площадей поверхностей пирамид (записать на доске, проверить на экране) (слайд 10-11)

2) решить задачу из учебника по готовым чертежам

S пол = Sосн + S бок.

III этап: Виртуальное путешествие в мир пирамид – презентация учащихся

IV этап – Изучение новой темы – сопровождается мультимедийной презентацией

Изучаемые понятия:

Усеченная пирамида (определение);

Элементы усеченной пирамиды;

Правильная усеченная пирамида;

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды;

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды.

Запишите тему.

Начертите каждый у себя в тетради произвольную пирамиду.

Проведите плоскость, параллельную основанию.

Эта плоскость делить пирамиду на две части. Что вы можете сказать о них?

Дайте определение усеченной пирамиды.

Назовите основные элементы усеченной пирамиды.

Что вы можете сказать про боковые грани?

Какую усеченную пирамиду называют правильной? Что можно сказать о её боковых гранях?

Из чего состоит полная поверхность усеченной пирамиды?

Написать формулу для расчета ее полной поверхности.

Из чего состоит боковая поверхность?

Назовите предметы имеющие форму усеченной пирамиды. (слайд)

V этап Решение задач - № 71, 77 из учебника Геометрия 7-11 А.В.Погорелов.

Решение задач парами. (приложение 1)

Дом. задание: № 70.

VI этап Рефлексия.

Контрольные вопросы

1. Какой многогранник называется пирамидой?

2. Какая пирамида называется треугольной?

3. Какая пирамида называется правильной?

4. Что такое апофема правильной пирамиды?

5 Какая пирамида называется тетраэдром?

6. Какая пирамида называется усеченной?

7. Что такое высота пирамиды?

8. Чему равна площадь боковой поверхности правильной пирамиды?

9. Чему равна площадь боковой поверхности усеченной пирамиды?

Дом задание: №75

Выставление оценок

Приложение 1

Решение задач на выбор - пары выбирают задачу и решают.

1. Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды.

2. Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 60°. Найдите высоту пирамиды.

3. У четырехугольной усечённой пирамиды стороны одного основания равны 6, 7, 8, 9 см, а меньшая сторона другого основания равна 5 см. Найдите остальные стороны этого основания.

4. В правильной треугольной пирамиде с высотой h через сторону основания a проведена плоскость, пересекающая противолежащая противолежащее боковое ребро под прямым углом. Найдите площадь сечения.

5. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды а, а двугранный угол при основании равен 45°. Найдите объем пирамиды.

6. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны нижнего и верхнего оснований равны a и b, а двугранный угол при ребре нижнего основания равен a. Найдите объем пирамиды.

7. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и две данные точки на её основании.

8. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 2 см, а стороны оснований 3 см и 5 см. Найдите диагональ этой пирамиды.

Приложение 2

Волшебные свойства пирамид

Термин «пирамида» заимствован из греческого «пирамис» или «пирамидос». Греки в свою очередь позаимствовали это слово из египетского языка. Другие считают, что термин берет свое начало от формы хлебцев в Древней Греции («пирос» - рожь). В связи с тем, что форма пламени напоминает образ пирамиды, некоторые ученые считали, что термин происходит от греческого слова «пир» - что означает огонь, а огонь, как известно - символ жизни всех созданий.

Пирамиды можно отнести к одним из самых загадочных на планете.

В настоящее время доказано, что пиpамида концентpиpyет в себе качественнyю энеpгию, полезнyю для человека. Установлено, что объекты в форме пирамиды оказывают на окружающую среду положительное воздействие.

Чешский инженер Карел Дюбан, специалист по радиоволнам, утверждал. что пирамиды концентрируют космическую энергию, которая и является в них "действующим лицом".

Он обнаружил связь между формой пространства пирамиды и биологическими и физико-химическими процессами, происходящими в этом пространстве.

Оказалось, что энергия формы пирамиды "умеет делать" очень многое: растворимый кофе, постояв над пирамидой, приобретает вкус натурального; дешевые вина значительно улучшают свои вкусовые качества; вода приобретает свойства способствовать заживлению, тонизирует организм, уменьшает воспалительную реакцию после укусов, ожогов и действует, как естественное вспомогательное средство для улучшения пищеварения; мясо, рыба, яйца, овощи, фрукты мумифицируются, но не портятся; молоко долго не киснет; сыр не плесневеет. Если сидеть под пирамидой,то улучшается процесс медитации, уменьшается интенсивность головной и зубной боли, ускоряется заживление ран и язв. Пирамиды устраняют вокруг себя геопатогенное воздействие и гармонизируют внутреннее пространство помещений. Голландский исследователь пирамид Пауль Ликенс экспериментировал с самыми разными материалами: с семенами огородных культур (редька вырастала в 2 раза большая по размерам, чем контрольная из того же набора семян), травами - остаются зелеными и продолжают нести свой энергетический заряд, целебная сила значительно увеличивается.

Если в квартире поставить пирамиду с определенными параметрами, тараканы покидают помещение.

Одевая на голову облысевшего человека модель пирамидальной конструкции и ориентируя ее по сторонам света, достигается эффект стимуляции луковиц волос. Гармоничное излучение, генерируемое моделью пирамиды, проникает в достаточной мере в структуру кожи и способствует эффекту нежного массажа луковиц волос.

Другой способ достижения эффекта - поставить в пирамиду чистую родниковую воду, выдержать ее в течение суток, а затем перед сном втирать в кожу головы. По времени это дольше, но практичней.

Применение данного способа актуально в условиях повышенной радиации, когда многие дети лишаются волос. Это безмедикаментозный способ, не требующий больших финансовых затрат, прост в применении.

По утверждению ряда испытателей, обыкновенная вода прекрасно улавливает энергию пирамид и проявляет новые свойства: приобретает вкус чистой ключевой, оказывает оздоровляющее действие, стимулирует рост растений, известно также об эффективности применения подобной воды для укрепления волос, удаления перхоти, смягчения кожи и разглаживания морщин, избавления от потливости ног и т.д.

Например, если разводить рыбы в стеклянной пирамиде-аквариуме - результат поразительный: вода самоочищается! Нет никаких признаков гниения, нет налета тины на дне, не зеленеют стекла и не нужно тратить деньги на покупку аквариумных фильтров - пирамида всё очищает сама. Геометрия пирамиды структурирует молекулы воды особым образом, задавая программу к подавлению гниения внутри аквариума.

Ещё пример. ИЗВЕСТНЫЙ ГЕНЕТИК ГЕННАДИЙ БЕРДЫШЕВ говорит: "МЯСО В МОЕЙ ПИРАМИДЕ МОЖЕТ ДАЖЕ В ЖАРУ ЛЕЖАТЬ БЕЗ ХОЛОДИЛЬНИКА ЦЕЛУЮ НЕДЕЛЮ!"

Построив у себя на даче пирамиду, известный ученый говорит, что в ней он сбрасывает годы.

Пирамида - это гаситель излучений. Если ее поставить на компьютер и правильно ориентировать по сторонам света, пирамида создаст более благотворное поле. Чем крупнее пирамида, тем больше ее фактор добра. Все негативное воздействие будет либо погашено, либо перераспределено во что-то нейтральное.

И таких примеров можно привести много.

Пирамида, при условии, что она будет ориентирована ребрами основания по сторонам света, превращается в аккумулятор космической энергии. Поэтому, в последние годы в моде всякие сувениры в форме пирамид: считается, что они очищают пространство, излучают позитивную энергию.

Задача

Решение .

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на его гипотенузе. Соответственно, AB = 10 см, AO = 5 см.

Поскольку высота ON = 12 см, то величина ребер AN и NB равна
AN 2 = AO 2 + ON 2
AN 2 = 5 2 + 12 2
AN = √169
AN = 13

Поскольку нам известна величина AO = OB = 5 см и величина одного из катетов основания (8 см), то высота, опущенная на гипотенузу, будет равна
CB 2 = CO 2 + OB 2
64 = CO 2 + 25
CO 2 = 39
CO = √39

Соответственно, величина ребра CN будет равна
CN 2 = CO 2 + NO 2
CN 2 = 39 + 144
CN = √183

Ответ : 13, 13 , √183

Задача

Решение .
Объем пирамиды найдем по формуле:
V = 1/3 Sh

Площадь основания найдем по формуле нахождения площади прямоугольного треугольника:
S = ab/2 = 8 * 6 / 2 = 24
откуда
V = 1/3 * 24 *10 = 80 см 3 .

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«ШКОЛА №2» ГОРОДА АЛУШТЫ

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА

Решение задач.

Пирамида. Усеченная пирамида

Учитель математики

Пихидчук Ирина Анатольевна

2016 г.

УРОК

Геометрия. 11 класс.

Урок рассчитан на 3 часа. Рекомендуется проводить при обобщающем повторении.

ТЕМА: Пирамида. Усеченная пирамида. Решение задач.

ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА: Подготовка к контрольной работе (выявить проблемы; систематизировать и откорректировать знания по теме).

ЦЕЛИ: 1) Проверить знание определений: угол между прямой и плоскостью; линейный угол двугранного угла (построение); правильная пирамида.

Повторить формулы: объем пирамиды; радиусы вписанной и описанной около многоугольника окружности;

проверить навыки построения рисунка; умение обосновывать углы между боковым ребром и плоскостью основания, между боковой гранью и плоскостью основания.

закрепить вычислительные навыки.

ХОД УРОКА:

Организационный момент. Сообщение целей и задач урока.

Повторение.

Рисунки на откидной доске:

Задание к рисункам: сформулировать определение угла между прямой и плоскостью. Показать на рисунках угол и обосновать.

Основная доска

Показать угол между боковым ребром и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды. Вычислить объем пирамиды если сторона основания равна а, угол между боковым ребром и плоскостью основания равен а.

Найти объем каждой из заданных правильных пирамид

ВЫВОД: 1) Угол между боковым ребром и плоскостью основания - это угол между боковым ребром и радиусом описанной около основания окружности;

2) Угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды - это угол между апофемой и радиусом вписанной в основание окружности.

Домашнее задание на карточках (задание прилагаются).

Геометрия 11 класс, (продолжение)

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ: Пирамида. Усеченная пирамида.

Задача № 1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Две грани, содержащие катеты, перпендикулярны к плоскости основания. Покажите углы между боковыми ребрами и плоскостью основания. Будут ли они равны если треугольник равнобедренный.

Задача № 2. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним углом. Постройте высоту пирамиды и углы между боковыми ребрами и плоскостью основания (построение обосновать)

ВЫВОД: Высота пирамиды проектируется в центр описанной окружности если: боковые ребра равны; боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним углом; пирамида правильная.

Домашнее задание. В правильной пирамиде (треугольная, четырехугольная, шестиугольная) построить угол между боковой гранью и плоскостью основания. Построение обосновать.

Как можно построить пирамиду? На плоскости р построим какой-либо многоугольник, например пятиугольник ABCDE. Вне плоскости р возьмем точку S. Соединив точку S отрезками со всеми точками многоугольника, получим пирамиду SABCDE (рис.).

Точка S называется вершиной , а многоугольник ABCDE - основанием этой пирамиды. Таким образом, пирамида с вершиной S и основанием ABCDE - это объединение всех отрезков , где М ∈ ABCDE.

Треугольники SAB, SBC, SCD, SDE, SEA называются боковыми гранями пирамиды, общие стороны боковых граней SA, SB, SC, SD, SE - боковыми ребрами .

Пирамиды называются треугольными, четырехугольными, п-угольными в зависимости от числа сторон основания. На рис. даны изображения треугольной, четырехугольной и шестиугольной пирамид.

Плоскость, проходящая через вершину пирамиды и диагональ основания, называется диагональной , а полученное сечение - диагональным. На рис. 186 одно из диагональных сечений шестиугольной пирамиды заштриховано.

Отрезок перпендикуляра, проведенного через вершину пирамиды к плоскости ее основания, называется высотой пирамиды (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Пирамида называется правильной , если основание пирамиды-правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в его центр.

Все боковые грани правильной пирамиды - конгруэнтные равнобедренные треугольники. У правильной пирамиды все боковые ребра конгруэнтны.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой пирамиды. Все апофемы правильной пирамиды конгруэнтны.

Если обозначить сторону основания через а , а апофему через h , то площадь одной боковой грани пирамиды равна 1 / 2 ah .

Сумма площадей всех боковых граней пирамиды называется площадью боковой поверхности пирамиды и обозначается через S бок.

Так как боковая поверхность правильной пирамиды состоит из n конгруэнтных граней, то

S бок. = 1 / 2 ahn = Ph / 2 ,

где Р - периметр основания пирамиды. Следовательно,

S бок. = Ph / 2

т. е. площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле

S = S ocн. + S бок. .

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания S ocн. на высоту Н:

V = 1 / 3 S ocн. Н.

Вывод этой и некоторых других формул будет дан в одной из последующих глав.

Построим теперь пирамиду другим способом. Пусть дан многогранный угол, например, пятигранный, с вершиной S (рис.).

Проведем плоскость р так, чтобы она пересекала все ребра данного многогранного угла в разных точках А, В, С, D, Е (рис.). Тогда пирамиду SABCDE можно рассматривать как пересечение многогранного угла и полупространства с границей р , в котором лежит вершина S.

Очевидно, что число всех граней пирамиды может быть произвольным, но не меньшим четырех. При пересечении трехгранного угла плоскостью получается треугольная пирамида, у которой четыре грани. Любую треугольную пирамиду иногда называют тетраэдром , что означает четырехгранник.

Усеченную пирамиду можно получить, если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания.

На рис. дано изображение четырехугольной усеченной пирамиды.

Усеченные пирамиды также называются треугольными, четырехугольными, n-угольными в зависимости от числа сторон основания. Из построения усеченной пирамиды следует, что она имеет два основания: верхнее и нижнее. Основания усеченной пирамиды - два многоугольника, стороны которых попарно параллельны. Боковые грани усеченной пирамиды - трапеции.

Высотой усеченной пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведенного из любой точки верхнего основания к плоскости нижнего.

Правильной усеченной пирамидой называется часть правильной пирамиды, заключенная между основанием и плоскостью сечения, параллельной основанию. Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды (трапеции) называется апофемой .

Можно доказать, что у правильной усеченной пирамиды боковые ребра конгруэнтны, все боковые грани конгруэнтны, все апофемы конгруэнтны.

Если в правильной усеченной n -угольной пирамиде через а и b n обозначить длины сторон верхнего и нижнего оснований, а через h - длину апофемы, то площадь каждой боковой грани пирамиды равна

1 / 2 (а + b n ) h

Сумма площадей всех боковых граней пирамиды называется площадью ее боковой поверхности и обозначается S бок. . Очевидно, что для правильной усеченной n -угольной пирамиды

S бок. = n 1 / 2 (а + b n ) h .

Так как па = Р и nb n = Р 1 - периметры оснований усеченной пирамиды, то

S бок. = 1 / 2 (Р + Р 1) h ,

т. е. площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна половине произведения суммы периметров ее оснований на апофему.

Сечение, параллельное основанию пирамиды

1) боковые ребра и высота разделятся на пропорциональные части;

2) в сечении получится многоугольник, подобный основанию;

3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.

Теорему достаточно доказать для треугольной пирамиды.

Так как параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым, то (АВ) || (А 1 В 1), (BС) ||(В 1 C 1), (AС) || (A 1 С 1) (рис.).

Параллельные прямые рассекают стороны угла на пропорциональные части, и поэтому

$$ \frac{\left|{SA}\right|}{\left|{SA_1}\right|}=\frac{\left|{SB}\right|}{\left|{SB_1}\right|}=\frac{\left|{SC}\right|}{\left|{SC_1}\right|} $$

Следовательно, ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 и

$$ \frac{\left|{AB}\right|}{\left|{A_{1}B_1}\right|}=\frac{\left|{SB}\right|}{\left|{SB_1}\right|} $$

ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 и

$$ \frac{\left|{BC}\right|}{\left|{B_{1}C_1}\right|}=\frac{\left|{SB}\right|}{\left|{SB_1}\right|}=\frac{\left|{SC}\right|}{\left|{SC_1}\right|} $$

Таким образом,

$$ \frac{\left|{AB}\right|}{\left|{A_{1}B_1}\right|}=\frac{\left|{BC}\right|}{\left|{B_{1}C_1}\right|}=\frac{\left|{AC}\right|}{\left|{A_{1}C_1}\right|} $$

Соответственные углы треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 конгруэнтны, как углы с параллельными и одинаково направленными сторонами. Поэтому

ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1

Площади подобных треугольников относятся, как квадраты соответствующих сторон:

$$ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1 B_1 C_1}}=\frac{\left|{AB}\right|^2}{\left|{A_{1}B_1}\right|^2} $$

$$ \frac{\left|{AB}\right|}{\left|{A_{1}B_1}\right|}=\frac{\left|{SH}\right|}{\left|{SH_1}\right|} $$

Следовательно,

$$ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1 B_1 C_1}}=\frac{\left|{SH}\right|^2}{\left|{SH_1}\right|^2} $$

Теорема. Если две пирамиды с равными высотами рассечены на одинаковом расстоянии от вершины плоскостями, параллельными основаниям, то площади сечений пропорциональны площадям оснований.

Пусть (черт. 84) В и В 1 - площади оснований двух пирамид, H - высота каждой из них, b и b 1 - площади сечений плоскостями, параллельными основаниям и удалёнными от вершин на одно и то же расстояние h .

Согласно предыдущей теореме мы будем иметь:

$$ \frac{b}{B}=\frac{h^2}{H^2}\: и \: \frac{b_1}{B_1}=\frac{h^2}{H^2} $$
откуда
$$ \frac{b}{B}=\frac{b_1}{B_1}\: или \: \frac{b}{b_1}=\frac{B}{B_1} $$

Следствие. Если В = В 1 , то и b = b 1 , т. е. если у двух пирамид с равными высотами основания равновелики, то равновелики и сечения, равноотстоящие от вершины.